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$\operatorname {Cos} .(u+v)=\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v-\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v,\qquad$(1)

$\operatorname {Cos} .(u-v)=\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v+\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v,\qquad$(2)

$\operatorname {Sin} .(u+v)=\operatorname {Sin} .u\operatorname {Cos} .v+\operatorname {Cos} .u\operatorname {Sin} .v,\qquad$ (3)

$\operatorname {Sin} .(u-v)=\operatorname {Sin} .u\operatorname {Cos} .v-\operatorname {Cos} .u\operatorname {Sin} .v.$^[1]$\quad \ \$(4)

Si l’on suppose $v=u,$ ces formules donneront

${\begin{array}{rlr}\operatorname {Cos} .2u&=\operatorname {Cos} .^{2}u-\operatorname {Sin} .^{2}u=1-2\operatorname {Sin} .^{2}u=2\operatorname {Cos} .^{2}u-1,&(\mathrm {5} )\\1&=\operatorname {Cos} .^{2}u+\operatorname {Sin} .^{2}u,&(\mathrm {6} )\\\operatorname {Sin} .2u&=2\operatorname {Sin} .u\operatorname {Cos} .u.&(\mathrm {7} )\\\end{array}}$

Si l’on prend tour-à-tour la somme et la différence des équations (1) et (2), ainsi que la somme et la différence des équations (3) et (4), en posant, pour abréger, $u+v=x,\ u-v=y,$ on trouvera

${\begin{array}{rlr}\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x&=2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y),&(\mathrm {8} )\\\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x&=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x-y),&(\mathrm {9} )\\\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Sin} .y&=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y),&(\mathrm {10} )\\\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .y&=2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x-y).&(\mathrm {11} )\end{array}}$

d’où, en changeant $y$ en ${\frac {1}{2}}\varpi -y,$

1. Voyez, pour la démonstration la plus simple et la plus générale de ces théorèmes, la page 323 du XI.^e volume du présent recueil.