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$\left\{{\frac {3a^{2}+2(2b+c)a+b(b+c)}{3}}\right\}^{\frac {3}{2}}>a^{3}+(2b+c)a^{2}+b(b+c)a,$

ou bien

$\left\{3a^{2}+2(2b+c)a+b(b+c)\right\}^{3}-27\left\{a^{3}+(2b+c)a^{2}+b(b+c)a\right\}>0\,;$

or, en développant, on trouve, pour la première partie,

$27a^{6}+54(2b+c)a^{5}+9\left[4(2b+c)^{2}+3b(b+c)\right]a^{4}+4(2b+c)\left[9b(b+c)+2(2b+c)^{2}\right]a^{3}$

$+3b(b+c)\left[4(2b+c)^{2}+3b(b+c)\right]a^{2}+6b^{2}(b+c)^{2}(2b+c)a+b^{3}(b+c)^{3},$

et pour la seconde,

$27a^{6}+54(2b+c)a^{5}+27\left[(2b+c)^{2}+2b(b+c)\right]a^{4}$

$+54b(b+c)(2b+c)a^{3}+27b^{2}(b+c)^{2}a^{2}\,;$

substituant donc dans l’inégalité ci-dessus, il viendra

$9\left[(2b+c)^{2}-3b(b+c)\right]a^{4}+2(2b+c)\left[4(2b+c)^{2}-9b(b+c)\right]a^{3}$

$+6b(b+c)\left[2(2b+c)^{2}-3b(b+c)\right]a^{2}+6b^{2}(b+c)^{2}(2b+c)a+b^{3}(b+c)^{3}>0\,;$

ou, en développant et réduisant,

$9\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)a^{4}+2(2b+c)\left(7b^{2}+7bc+4c^{2}\right)a^{3}+6b(b+c)\left(5b^{2}+5bc+2c^{2}\right)a^{2}$

$+6b^{2}(b+c)^{2}(2b+c)a+b^{3}(b+c)^{3}>0\,;$