14. Nous avons remarqué dans ce qui précède (12, 13) que, pour déduire de l’analise toutes les circonstances du cours des branches pointillées et ponctuées des courbes exponentielles, on était obligé de regarder comme réels les logarithmes des nombres négatifs. Or, on peut se demander naturellement si ces logarithmes sont en effet réels, ou si, en les supposant tels, on ne se livre pas à une hypothèse erronée. Ce qui a été dit au commencement de ce mémoire nous paraît offrir à cette question une réponse satisfaisante. Si, en effet, on appelle logarithme d’un nombre l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base du système pour avoir ce nombre ; et si l’on convient réciproquement de regarder tout nombre ainsi obtenu comme ayant cet exposant pour logarithme, on se trouvera contraint (2, 3, 4, 5) d’admettre comme incontestables les propositions suivantes :
I. Dans tout système dont la base est positive, tout nombre positif a un logarithme réel. Quant aux nombres négatifs, ils se partagent en deux séries telles que chacun de ceux de l’une d’elles a un logarithme réel, le même qu’il aurait s’il était positif ; tandis que ceux de l’autre série ont tous des logarithmes imaginaires.
II. Dans tout système dont la base est négative, il y a une moitié des nombres qui, avec quelque signe qu’on les prenne, ne sauraient avoir de logarithmes réels. L’autre moitié se partage encore en deux séries telles que ceux de l’une d’elles ont des logarithmes réels, lorsqu’on les prend positivement ; et n’en ont pas quand on les prend négativement ; tandis qu’au contraire ceux de l’autre série ont des logarithmes réels, lorsqu’on les prend négativement, et n’en ont pas quand on les prend positivement.
III. Deux nombres de la même classe sont indéfiniment peu différens ; sans que pourtant on puisse dire qu’il y a continuité ; puisqu’il existe entre eux un nombre de l’autre classe.
