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pendiculaires diviseront le polygone irrégulier inscrit en une suite de triangles dont les aires seront respectivement, en représentant par $\varepsilon$ l’angle intérieur du polygone régulier,

${\frac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\quad {\frac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\ldots {\frac {1}{2}}gh\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\quad {\frac {1}{2}}ha\operatorname {Sin} .\varepsilon \,;$

la somme des aires de ces triangles, c’est-à-dire, l’aire du polygone irrégulier inscrit, aura donc pour expression

${\frac {1}{2}}(ab+bc+\ldots +gh+ha)\operatorname {Sin} .\varepsilon .$

Or, d’après ce qui vient d’être démontré ci-dessus, cette aire est constante, quelle que soit la situation du point P sur la circonférence $\mathrm {(C)} \,;$ puis donc que $\operatorname {Sin} .\varepsilon$ est constant, il s’ensuit que la somme de produits

$ab+bc+\ldots +gh+ha,$

est aussi une quantité constante, quelle que soit la situation du point $\mathrm {P}$ sur la circonférence $\mathrm {(C)} .$

Or, les quarrés des côtés consécutifs du polygone irrégulier inscrit ont respectivement pour expression

${\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&g^{2}+h^{2}+2gh\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&h^{2}+a^{2}+2ha\operatorname {Cos} .\varepsilon \,;\end{aligned}}$

donc la somme des quarrés de ces mêmes côtés a pour expression