Venons présentement au théorème de M. Lhuilier, que nous avons rappelé au commencement de cet article, et cherchons quel est le lieu des points du plan d’un polygone régulier donné quelconque, desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, le polygone non régulier inscrit qui aura ses sommets aux pieds de ces perpendiculaires, ait une aire constante donnée.
Exécutons exactement les mêmes constructions que ci-dessus et nous obtiendrons comme alors points distribués sur la circonférence de telle sorte que la polygone non régulier inscrit qui aura ses sommets aux pieds des perpendiculaires abaissées de l’un quelconque, autre que sur les directions des côtés du polygone primitif, sera identiquement égal au polygone irrégulier inscrit qui aura ses sommets aux pieds des perpendiculaires abaissées du point sur ces mêmes directions ; d’où l’on conclura, comme ci-dessus, que le lieu cherché doit couper la circonférence aux points si toutefois il ne se confond pas avec elle.
Mais, d’un autre côté, il résulte, des considérations très-simples exposées à la page 293 du précédent volume, que le lieu cherché ne saurait être qu’une ligne du second ordre qui, si elle ne se confond pas avec la circonférence ne saurait la couper en plus de quatre points ; donc ce lieu est cette circonférence elle-même ; de sorte qu’on a ce théorème, qui est précisément celui de M. Lhuilier :
THÉORÈME, Étant donné, sur un plan, un polygone régulier d’un nombre quelconque de côtés ; une circonférence concentrique à ce polygone est le lieu géométrique des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires sur ses côtés, l’aire du polygone qui a pour sommets les pieds de ces perpendiculaires est d’une grandeur donnée.
Désignons présentement par les perpendiculaires abaissées du point quelconque de la circonférence sur les directions des côtés du polygone régulier dont il s’agit ; ces per-
