des dimensions de la fonction est inférieur au nombre des côtés de ce polygone.
Ainsi, en particulier, le théorème sera vrai pour les sommes de produits deux à deux, trois à trois, à de ces perpendiculaires.
D’après l’idée qu’on se forme communément de la loi de continuité, on serait tenté de croire que notre premier théorème doit subsister encore pour les sommes de puissances des longueurs des perpendiculaires d’un degré égal ou supérieur à . Il paraîtrait étrange et vraiment paradoxal, en effet, que, par exemple, le lieu géométrique des points du plan d’un polygone régulier de 100 côtés desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ces côtés, la somme des .mes puissances ou des puissances semblables de degrés inférieurs serait constante, dût être un cercle, et que ce lieu dût devenir tout-à-coup une ligne du 100.me ordre, ou peut-être même d’un ordre plus élevé, dès qu’il s’agirait seulement de la somme des .mes puissances de ces mêmes longueurs.
Pour démontrer généralement qu’alors le lieu demandé cesse d’être un cercle, il faudrait probablement s’engager dans de longs et difficiles calculs ; mais nous pouvons du moins prouver, par un exemple particulier des plus simples, que du moins la loi de continuité n’est point observée dans tous les cas. En effet, dans ses Élémens d’analise géométrique (pag. 139), M. Lhuilier a prouvé que le lieu des points du plan d’un polygone régulier tels que la somme des cubes de leurs distances aux côtés du polygone est constante, est une circonférence concentrique à ce polygone, tant que le nombre de ses côtés surpasse trois, mais que, dans le cas du triangle équilatéral, ce lieu cesse d’être une circonférence, pour devenir une ligne du troisième ordre. Il résulte d’ailleurs, de ce qui vient d’être démontré ci-dessus, que, pour le triangle équilatéral, comme pour les autres polygones réguliers, ce lieu redevient une circonférence dès qu’il ne s’agit plus que des sommes de perpendiculaires ou de la somme de leurs quarrés.
