au moins du m.me ordre ; donc toutes les fois que le lieu cherché sera d’un ordre inférieur au m.me, il devra nécessairement se confondre avec la circonférence
Mais, d’un autre côté, il est connu que la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point sur une droite est une fonction linéaire des coordonnées de ce point ; d’où il résulte que le lieu des points, du plan d’un polygone régulier desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions des côtés de ce polygone, la somme des n.mes puissances des longueurs de ces perpendiculaires est une quantité donnée, ne saurait être qu’une ligne du 2.me ordre au plus ; donc, toutes les fois qu’on aura ce lieu devra se confondre avec la circonférence On a donc ce théorème assez remarquable :
THÉORÈME. Le lieu géométrique des points du plan d’un polygone régulier, desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, la somme des puissances semblables d’un degré donné quelconque des longueurs de ces perpendiculaires est une grandeur constante donnée, est nécessairement une circonférence concentrique au polygone dont il s’agit ; toutes les fois du moins que l’exposant de la puissance est inférieur au nombre des côtés de ce polygone.
Or, il est connu que toute fonction symétrique entière et rationnelle de plusieurs quantités est exprimable en sommes de puissances semblables de ces mêmes quantités, dont le degré n’excède jamais le nombre des dimensions de la fonction dont il s’agit ; on peut donc à ce théorème substituer le suivant, beaucoup plus général.
THÉORÈME. Le lieu géométrique des points du plan d’un polygone régulier, desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, une fonction symétrique rationnelle et entière de forme quelconque des longueurs de ces perpendiculaires est une quantité constante, est une circonférence concentrique au polygone dont il s’agit ; toutes les fois du moins que le nombre
