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soit perpendiculaire à cette droite, et qui la coupera au centre de courbure demandé.

On déduit facilement de cette construction une expression très-simple du rayon de courbure d’une courbe, soit plane, soit à double courbure, située d’une manière quelconque dans l’espace, en fonction des rayons de courbure des points correspondans des projections orthogonales de cette courbe sur deux plans arbitraires.

Soient, en effet, $R$ et $R'$ les rayons de courbure des deux projections, pour les points de ces projections qui répondent à celui de la courbe duquel on cherche le rayon de courbure. Soient, en outre, $a$ et $a'$ les angles que forme la tangente en ce point avec ses projections respectives sur les deux plans. Soient enfin $r$ et $r'$ les rayons de courbure des sections normales des deux cylindres projetans, faites suivant cette tangente ; on aura, d’après les propriétés de l’indicatrice rappelées ci-dessus,

$r={\frac {R}{\operatorname {Cos} .^{2}a}},\qquad r'={\frac {R'}{\operatorname {Cos} .^{2}a'}}.$

Cela posé, si l’on nomme $d$ la distance entre les centres de courbure des sections normales qui ont $r$ et $r'$ pour rayons de courbure, $N$ l’angle formé par ces rayons ou les normales au point donné de l’intersection commune des deux cylindres, enfin, $\alpha$ et $\alpha '$ les angles compris entre les directions de ces normales respectives et le rayon de courbure cherché ; en représentant ce dernier par $\rho ,$ on aura également, par ce qui précède, dans les triangles formés par ces diverses droites,

$d^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\operatorname {Cos} .N,$

$\rho =r\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad \rho =r'\operatorname {Cos} .\alpha ',$

$\rho d=rr'\operatorname {Sin} .N\,;$

d’où l’on tirera