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Aire de cette base …${\frac {a^{2}\left(4\varpi x^{2}-a^{2}\right)}{4\varpi x^{2}}},$

Volume du cône $\ldots {\frac {a^{2}\left(4\varpi x^{2}-a^{2}\right)\left(2\varpi x^{2}-a^{2}\right)}{24\varpi ^{2}x^{3}}},$

$y=$ secteur-cône … $a^{4}.{\frac {6\varpi x^{2}-a^{2}}{24\varpi ^{2}x^{3}}}.$

En différentiant deux fois la valeur de $y$, on trouve

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {a^{4}}{8\varpi ^{2}}}.{\frac {a^{2}-2\varpi x^{2}}{x^{4}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {a^{4}}{2\varpi ^{2}}}.{\frac {\varpi x^{2}-a^{2}}{x^{5}}}.$

En égalant donc à zéro la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ on obtiendra pour la condition commune au maximum et au minimum

$a^{2}-2\varpi x^{2}=0,\quad$d’où$\quad x={\frac {a^{2}}{2\varpi x}}\,;$

il faut donc que le rayon soit égal à la flèche du segment, ou en d’autres termes, que ce segment soit une hémisphère.

On tire de là

$\varpi x^{2}-a^{2}=-\varpi x^{2},$

et par suite

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-{\frac {a^{4}}{2\varpi x^{3}}}\,;$

et comme $x$ est positif, il s’ensuit que cette valeur est négative et qu’ainsi l’hémisphère est le segment maximum.

Si l’on supposait le secteur plus grand que l’hémisphère, on aurait