Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/25

branche continue ou à $y$ positive. Ces valeurs dépendent essentiellement de celles du facteur $\left(\operatorname {l} {\frac {e}{x}}\right)^{2}-x\operatorname {l} {\frac {e^{3}}{x^{2}}}\,;$ or, si l’on donne à $x$ cette série de valeurs

$x=1,\qquad e^{-1},\qquad e^{-2},\qquad e^{-3},\ldots e^{-m},$ Limite $0.$

Il en résultera

$\left(\operatorname {l} {\frac {e}{x}}\right)^{2}=1,\qquad 2^{2},\qquad 3^{2},\qquad 4^{2},\ldots (m+1)^{2}\,;$ Limite $+\infty .$

$-x\operatorname {l} .{\frac {e^{3}}{x^{2}}}=-3,-5e^{-1},-7e^{-2},-9e^{-3},\ldots -(2m+3)e^{-m}\,;$ Limite $0.$

Les deux séries de valeurs devant être ajoutées terme à terme, il est facile d’en conclure que le facteur dont il est question sera positif depuis $x=0$ jusqu’à $x=e^{-1},$ et que, par conséquent, la courbe sera convexe vers l’axe des $x$ entre ces deux limites. Le même facteur devenant négatif entre $x=e^{-1}$ et $x=1,$ la courbe éprouvera une inflexion et deviendra concave vers l’axe des $x.$ On pourrait même, en resserrant davantage les valeurs de $x,$ déterminer la position de ce point d’inflexion d’une manière indéfiniment approchée, et prouver qu’il est unique entre ces mêmes limites.

Donnons encore à $x$ les valeurs suivantes

$x=1,\qquad e,\qquad e^{2},\qquad e^{3},\qquad e^{4},\ldots e^{m}\,;$ limite $+\infty .$

Il en résultera

$\left(\operatorname {l} {\frac {e}{x}}\right)^{2}=1,\qquad 0,\qquad 2^{2},\qquad 3^{2},\ldots (m-1)^{2}\,;$ limite $+\infty .$

$-x\operatorname {l} .{\frac {e^{3}}{x^{2}}}=-3,-e,+e^{2},+3e^{3},+5e^{4},\ldots +(2m-3)e^{m}\,;$ limite $+\infty .$