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Hauteur du triangle $\ldots =x\operatorname {Cos} .{\frac {a}{2x}},$

Aire du triangle $\ldots \ldots =x^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {a}{2x}}\operatorname {Cos} .{\frac {a}{2x}}={\frac {1}{2}}x^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {a}{x}},$

$y=$ secteur-triangle $\quad ={\frac {1}{2}}ax-{\frac {1}{2}}x^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {a}{x}}.$

Nous remarquerons que cette dernière formule convient également au cas où le segment devrait excéder le demi-cercle, pourvu que, comme on le pratique ordinairement, $\operatorname {Sin} .{\frac {a}{x}}$ soit pris avec son signe.

On peut même concevoir tels segmens de cercles qui excèdent tant qu’on voudra le cercle auquel ils se trouvent correspondre. Un segment de cercle est, en effet, la surface comprise entre un arc quelconque et sa corde ; or, rien n’empêche qu’on ne prenne l’arc plus grand qu’une circonférence et même plus grand que tant de circonférences on voudra ; et alors le segment vaudra lui-même plus d’un cercle entier, et pourra même surpasser tel nombre de cercles on voudra. Cette remarque rendra plus faciles à interpréter les résultats que nous allons obtenir.

En différentiant deux fois consécutivement la valeur de $y,$ on trouvera

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{2}}a-x\operatorname {Sin} .{\frac {a}{x}}+{\frac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\frac {a}{x}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {a^{2}-x^{2}}{x^{2}}}\operatorname {Sin} .{\frac {a}{x}}+{\frac {a}{x}}\operatorname {Cos} .{\frac {a}{x}}.\end{aligned}}$

Suivant donc les théories connues, on obtiendra la condition