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Soit donc $\mathrm {AB}$ (fig. 12) une droite qu’il faille diviser en $2n+1$ parties égales. Pour y parvenir, sur $\mathrm {AB,}$ comme base, soit érigé, à volonté, un triangle $\mathrm {ASB.}$ Soit prolongée $\mathrm {AB}$ au-delà de $\mathrm {B}$ d’une quantité $\mathrm {BQ}$ égale à $n$ fois $\mathrm {AB.}$ Par le point $\mathrm {Q}$ soit menée une droite arbitraire, coupant respectivement $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SB}$ en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N,}$ Soient encore menées $\mathrm {AN}$ et $\mathrm {BM,}$ se coupant en $\mathrm {C.}$ Alors la droite $\mathrm {SG}$ coupera $\mathrm {AB}$ en un point $\mathrm {P}$ tel que $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {PB}$ contiendront respectivement $n+1$ et $n$ des $2n+1$ divisions de $\mathrm {AB.}$

En effet, les quatre droites $\mathrm {SA,SB,AN}$ et $\mathrm {BM}$ forment un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont $\mathrm {SC,MN}$ et $\mathrm {AB} \,;$ et l’on a, par construction,

$\mathrm {QA:QB} ::n+1:n\,;$

mais, dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est harmoniquement coupée par les deux autres ; d’où il suit qu’on doit avoir

$\mathrm {PA:PB::QA:QB} \,;$

on aura donc aussi

$\mathrm {PA:PB} ::n+1:n,$

comme nous l’avions annoncé^[1].

1. M. du Chayla, capitaine du génie, nous a indiqué, pour éviter la multiplicité des parallèles qu’exige la méthode ordinaire, ou plutôt pour pouvoir les mener facilement, un tour d’adresse fort simple, qui pourrait d’autant mieux trouver place dans les élémens, qu’il ne repose que sur les notions qu’on est dans l’usage d’y développer. Voici en quoi il consiste :

   Soit $\mathrm {AB}$ (fig. 13) la droite à diviser ; soit menée, à l’ordinaire, par le point $\mathrm {A,}$ une autre droite sur laquelle soient portées, à partir du même point, autant d’ouvertures de compas égales et arbitraires qu’on veut de divisions dans $\mathrm {AB} \,;$ et supposons que la dernière se termine en $\mathrm {M.}$ Soit menée $\mathrm {MB,}$ et du point $\mathrm {A}$ comme centre, et avec $\mathrm {AM}$ pour rayon, soit