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$\mathrm {MB} +{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=AB}$ ou de la courbe $\mathrm {MB} -{\frac {b}{a}}=\mathrm {AB} ,$ suivant que le miroir est convexe ou concave à l’égard du point $\mathrm {A.}$

Il convient de rappeler ici une autre propriété optique dont jouissent en commun les courbes désignées par (2) et (3) dans ce qui précède, et qui se trouve énoncée dans les Œuvres de Descartes ; propriété qui découle de celle que nous avons exposée relativement aux normales de ces courbes. En voici l’énoncé. Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deux points donnés de position, et soit ${\frac {b}{a}}$ un rapport donné ; soit construite une courbe telle que, pour chacun de ses points $\mathrm {M,}$ la quantité $b.\mathrm {MA} -a.\mathrm {MB}$ soit égale à une constante arbitraire qu’on peut prendre positive, négative ou nulle. Si des rayons lumineux, partant du point $\mathrm {A,}$ se réfractent à la rencontre de cette courbe, de telle sorte que les sinus des angles d’incidence et de réfraction soient entre eux dans le rapport donné de $a$ à $b,$ les directions des rayons réfractés convergeront vers le point fixe $B$^[1].

1. Nous avons déjà insinué ailleurs (tom. V, pag. 289) qu’il se pourrait bien que la plupart des caustiques, d’ordinaire d’une figure si compliquée, ne fussent que des développées de courbes beaucoup plus simples. Cette pensée semble avoir présidé au beau travail qu’on vient de lire ; et c’est sans doute ce qui a conduit son estimable auteur aux élégans résultats auxquels il est parvenu, et qui jettent tant de jour sur un des plus épineux sujets que puisse offrir l’analise appliquées.
   J. D. G.