Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/224

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

avec laquelle elles feront des angles $\mathrm {BMN,AMN,}$ dont les sinus devront être conséquemment en raison inverse de leurs intensités, c’est-à-dire, dans le rapport de $b$ à $a.$ Mais $\mathrm {MI}$ fait avec $\mathrm {MB}$ et $\mathrm {MA}$ des angles dont les sinus sont entre eux comme les cordes $\mathrm {IB,IA}$ qui les sous-tendent, dans le cercle $\mathrm {AMB,}$ c’est-à-dire, dans le rapport de $b$ à $a\,;$ donc la normale $\mathrm {MN}$ coïncide avec $\mathrm {MI.}$ On démontrerait la même chose pour le cas des équations (2) et (3), (fig. 4 et 5)^[1].

Cette propriété fait voir que la courbe à laquelle sont tangens les rayons réfractés $\mathrm {IK}$ ou $\mathrm {IM,}$ est la développée de l’une des courbes (1), (2), (3) ; or, cette courbe n’est autre chose que la caustique formée par ces rayons réfractés, d’où il faut conclure que la caustique que forment les rayons lumineux qui émanent d’un point, après s’être réfractés à la rencontre d’une circonférence dans le plan de laquelle ce point se trouve situé, est la développée d’une courbe dont la propriété caractéristique est que la somme ou la différence des produits des distances de ses points au point lumineux et à son conjugué par rapport au cercle, par deux coefficiens constans est une quantité constante. Les courbes de ce genre ayant quelque ressemblance soit avec l’ellipse, soit avec l’hyperbole, on doit en conclure que les caustiques dont il s’agit ici ne doivent pas

↑ Si l’on voulait faire usage du calcul différentiel, on aurait ; en nommant $r,r'$ les droites $\mathrm {MA,MB,}$ et $\operatorname {d} s$ l’élément de la courbe
$br\pm ar'=Const.\quad$ d’où $\quad b{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}\pm a{\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}=0\,;$

or, ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}$ et ${\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}$ sont les sinus des angles que fait la normale avec les rayons vecteurs $r$ et $r'\,;$ donc, etc.

[1] Si l’on voulait faire usage du calcul différentiel, on aurait ; en nommant $r,r'$ les droites $\mathrm {MA,MB,}$ et $\operatorname {d} s$ l’élément de la courbe
$br\pm ar'=Const.\quad$ d’où $\quad b{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}\pm a{\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}=0\,;$

or, ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}$ et ${\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}$ sont les sinus des angles que fait la normale avec les rayons vecteurs $r$ et $r'\,;$ donc, etc.

[1]