Le lieu géométrique du point 
est donc une courbe dans laquelle la différence des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points 
et 
par deux constantes est elle-même une quantité constante.
Troisième cas (fig. 5), Le point tombe sur l’arc 
Soit prise sur 
prolongée, s’il est nécessaire, au-delà de 
une longueur 
et soit menée. Par là les triangles 
et 
seront semblables, l’angle 
égal à l’angle 
et plus grand que l’angle 
de sorte que 
doit réellement tomber sur le prolongement de 
Ensuite, l’angle 
sera égal à l’angle 
mais d’ailleurs les angles 
sont égaux, comme ayant le même supplément 
donc les triangles 
sont semblables et donnent
ou
donc 
est constant et donné de grandeur. Or, onr a
ainsi
ou
(3)
Le lieu géométrique du point est donc encore ici une courbe dans laquelle la différence des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points et par deux constantes est elle-même une quantité constante ; mais ici la différence est inverse de celle du cas précédent.
En résumé, nous voyons que le lieu géométrique du point est une courbe telle que la somme ou la différence des produite des distances de ses points aux deux points fixes et par deux
