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$\mathrm {BG=MB+MG} ,\qquad \mathrm {MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} \,;$

ainsi

$\mathrm {MB} +{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad$ou$\quad a.\mathrm {MB} +b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad$(1)

Le lieu géométrique du point $\mathrm {M}$ est donc une courbe dans laquelle la somme des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par deux constantes, est elle-même une quantité constante.

Deuxième cas (fig. 4). Le point $\mathrm {M}$ se trouve sur l’arc $\mathrm {AI.}$

Les angles $\mathrm {AIB,AMB}$ étant alors égaux entre eux, soit prise sur $\mathrm {MB,}$ prolongée, s’il est nécessaire, au-delà du point $\mathrm {B} ,$ une longueur $\mathrm {MG}$ qui soit à $\mathrm {MA}$ dans le rapport donné de $b$ à $a,$ et soit menée $\mathrm {AG.}$ Les triangles $\mathrm {AMG,AIB}$ ayant un angle égal en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {I,}$ compris entre deux côtés proportionnels, seront semblables ; d’où il suit que l’angle $\mathrm {MAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAB,}$ et conséquemment plus petit que $\mathrm {MAB} \,;$ de sorte que $\mathrm {G}$ doit réellement tomber entre $\mathrm {M}$ et $\mathrm {B.}$ Ensuite l’angle $\mathrm {BAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ et, comme les angles $\mathrm {ABG,AIM}$ sont aussi égaux, on voit que les triangles $\mathrm {BAG,IAM}$ sont aussi semblables, et donnent conséquemment

$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$ou$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;$

donc $\mathrm {BG}$ est constant et donné de grandeur. Or, on a

$\mathrm {BG=MB-MG,\qquad MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} ,$

ainsi

$\mathrm {MB} -{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad$ou$\quad a.\mathrm {MB} -b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad$(2)