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elle devient de nouveau et demeure positive pour toutes les valeurs positives de $x\,;$ ce qui fait voir que la branche continue est partout convexe vers l’axe des $x.$

13. Examinons encore la courbe dont l’équation est

$y=x^{\frac {1}{x}}.$

$\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}=0,\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{2},\ \left({\frac {2}{3}}\right)^{2},\ \left({\frac {3}{4}}\right)^{2},\ldots \left({\frac {m-1}{m}}\right)^{2},$ ayant pour limite $+1$;
${\frac {1}{x}}=-e,\quad -e^{\frac {1}{2}},\quad -e^{\frac {1}{3}},\quad -e^{\frac {1}{4}},\ldots -e^{\frac {1}{m}},$ ayant pour limite $-1.$

Et que si, au contraire, on donne à $x$ les valeurs suivantes

$x=-{\frac {1}{e}},\quad -{\frac {1}{e^{2}}},\quad -{\frac {1}{e^{3}}},\quad -{\frac {1}{e^{4}}},\ldots -{\frac {1}{e^{m}}},$ ayant pour limite $0\,;$

on aura d’abord

$\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}=0,\quad 1,\quad 2^{2},\quad 3^{2},\ldots \left(m-1\right)^{2},$ ayant pour limite $+\infty \,;$

série dans laquelle le rapport de deux termes consécutifs a pour limite l’unité ; et ensuite

${\frac {1}{x}}=-e,\quad -e^{2},\quad -e^{3},\quad -e^{4},\ldots -e^{m},$ ayant pour limite $-\infty \,;$

série dans laquelle le rapport de deux termes consécutifs est $e.$

Il résulte de là que le signe de toute l’expression $\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}+{\frac {1}{x}}$ ne dépend jamais que de celui du terme ${\frac {1}{x}},$ et que la limite de la même expression qui correspond à $x=0$ est aussi celle du terme ${\frac {1}{x}}.$