d’après une loi connue, dans un rapport constant que nous nommerons 
Faisons passer par les trois points 
une circonférence de cercle. Cette circonférence touchera 
en 
et coupera de nouveau la droite 
en un point 
Il est aisé de voir que les sinus des angles 
que la tangente au cercle 
fait avec les cordes 
sont entre eux comme ces cordes. Donc le rapport de celles-ci est donné et égal à 
et suivant c que 
sera plus grand ou plus petit que 
les points 
et 
seront ou ne seront pas situés tous deux du même côté de 
Ces deux cas doivent être examines séparément.
Premier cas (fig. 1). 
d’où 
L’angle 
étant alors égal à l’angle 
prenons sur 
une portion 
égale à 
et joignons 
les deux triangles isocèles 
seront semblables ; donc l’angle 
sera égal à l’angle 
et par conséquent l’angle 
égal à l’angle 
mais on a aussi l’angle 
égal à l’angle donc les deux triangles et 
sont semblables, et donnent conséquemment cette proportion
ou
donc 
est constant et donné de grandeur ; et comme
on voit que la différence 
est constante, et que par conséquent le point est à une branche d’hyperbole dont les foyers sont 
et 
et dont l’axe transverse est égal à 
De plus 
est la normale à cette courbe au point 
puisqu’elle fait, avec les deux rayons vecteurs 
des angles
