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$\mathrm {ABC={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\overline {OB}}^{2}.{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}.{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OA}}^{2}.{\overline {OB}}^{2}}}} .$

Présentement, le volume du tétraèdre peut être indistinctement exprimé par ${\frac {1}{3}}p.\mathrm {ABC}$ ou par ${\frac {1}{6}}\mathrm {OA.OB.OC} \,;$ d’où il suit qu’on doit avoir

$p\mathrm {={\frac {OA.OB.OC}{2ABC}}} .$

c’est-à-dire en substituant

$\mathrm {\frac {OA.OB.OC}{\sqrt {{\overline {OB}}^{2}.{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}.{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OA}}^{2}.{\overline {OB}}^{2}}}} ,$

ou encore

$p=\mathrm {\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{{\overline {OA}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OB}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OC}}^{2}}}}}}$

ce qui donnera, en introduisant pour $\mathrm {OA,OB,OC,}$ valeurs (4),

$p={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)+b\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)+c\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)}}}$

Mais on a, dans le cas présent

$\left.{\begin{aligned}&\alpha ^{2}\ \ +\beta ^{2}\ \,+\gamma ^{2}\ =1,\\&\alpha '^{2}\ +\beta '^{2}\,+\gamma '^{2}\,=1,\\&\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

donc cette expression se réduit simplement à

$p={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a+b+c}}},$

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :