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des $t,u,v\,;$ pour passer au nouveau système de coordonnées, il faudra faire

$\left.{\begin{aligned}x&=\alpha t\ \ +\beta u\ \ +\gamma v,\\y&=\alpha 't\,+\beta 'u\,+\gamma 'v,\\z&=\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

ce qui donnera, en substituant,

$a(\alpha t+\beta u+\gamma v)^{2}+b(\alpha 't+\beta 'u+\gamma 'v)^{2}+c(\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v)^{2}=d.$ (3)

Si, dans cette équation, on fait tour-à-tour deux des coordonnées égales à zéro, et qu’on en tire ensuite la valeur de la troisième, on obtiendra ainsi les valeurs de $\mathrm {OA,OB,OC,}$ qu’on trouvera être

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {OA} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\alpha ^{2}+b\alpha '^{2}+c\alpha ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OB} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\beta ^{2}+b\beta '^{2}+c\beta ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OC} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\gamma ^{2}+b\gamma '^{2}+c\gamma ''^{2}}}}.\end{aligned}}\right\}\quad (4)$

Cela posé, considérons le tétraèdre rectangle dont le sommet est en $\mathrm {O}$ et dont $\mathrm {ABC}$ est la face hypothénusale. Les aires des faces rectangulaires de ce tétraèdre sont

$\mathrm {{\frac {1}{2}}OB.OC,\quad {\frac {1}{2}}OC.OA,\quad {\frac {1}{2}}OA.OB}$

on sait d’ailleurs que la somme de leurs quarrés doit être égale au quarré de l’aire de la face hypothénusale ; d’où il suit qu’on doit avoir