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$p={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+b\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)}}}\,;$

mais on sait que

$\left.{\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1,\\&\alpha '^{2}+\beta '^{2}=1\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

donc cette expression se réduit simplement à

$p={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a+b}}},$

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :

THÉORÈME I. Les cordes d’une ligne du second ordre hypothénuses d’une suite de triangles rectangles, ayant pour sommet commun de l’angle droit le centre de la courbe, sont toutes tangentes à un même cercle.

On peut toujours supposer $c$ positif, et conséquemment le numérateur réel ; le cercle ne sera donc réel qu’autant que $a+b$ sera une quantité positive, circonstance qui aura toujours lieu dans l’ellipse.

Soit, en second lieu, une surface quelconque du second ordre ayant un centre, rapportée à ses diamètres principaux ; et soit alors son équation

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.\qquad$(1)

Par son centre $\mathrm {O} ,$ soient menées arbitrairement trois droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en $\mathrm {A,B,C} \,;$ et cherchons l’expression de la perpendiculaire $p$ abaissée de son centre $\mathrm {O}$ sur le plan du triangle $\mathrm {ABC.}$

Pour cela, soient pris respectivement $\mathrm {OA,OB,OC}$ pour axes