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Par son centre $\mathrm {O} ,$ soient menées arbitrairement deux droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ et cherchons l’expression de la perpendiculaire $p$ abaissée du centre $\mathrm {O}$ sur la corde $\mathrm {AB.}$

Pour cela, soient pris respectivement $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB}$ pour axes des $t$ et des $u\,;$ pour passer au nouveau système de coordonnées ; il faudra faire

$\left.{\begin{aligned}&x=\alpha t+\beta u,\\&y=\alpha 't+\beta 'u\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

ce qui donnera, en substituant,

$a(\alpha t+\beta u)^{2}+b(\alpha 't+\beta 'u)^{2}=c.\qquad$(3)

Si, dans cette équation, on fait tour à tour chaque coordonnée égale à zéro, et qu’on tire ensuite la valeur de l’autre, on obtiendra ainsi $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB,}$ qu’on trouvera être

$\mathrm {OA} ={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\alpha ^{2}+b\alpha '^{2}}}},\qquad \mathrm {OB} ={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\beta ^{2}+b\beta '^{2}}}}.\qquad$(4)

Cela posé, l’aire du triangle rectangle $\mathrm {ACB}$ ayant également pour expression ${\frac {1}{2}}\mathrm {OA.OB}$ et ${\frac {1}{2}}p.\mathrm {AB} ,$ on doit avoir

$p=\mathrm {\frac {OA.OB}{AB}} ,$

ou bien

$p=\mathrm {{\frac {OA.OB}{\sqrt {{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{{\overline {OA}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OB}}^{2}}}}}}} \,;$

introduisant, dans cette expression, pour $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB}$ leurs valeurs (4), elle deviendra