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milieu $\mathrm {O}$ soit menée une droite rencontrant la courbe en un point $\mathrm {T}$ par lequel soit menée une tangente à cette courbe. Du centre $\mathrm {C}$ soit abaissée sur cette tangente la perpendiculaire $\mathrm {CG}$ coupant en $\mathrm {H}$ sa parallèle $\mathrm {MN.}$ Soit enfin $\mathrm {PQ}$ le diamètre parallèle à $\mathrm {MN,}$ conjugué de celui qui passe par $\mathrm {T} \,;$ à cause de l’angle droit $\mathrm {MCN,}$ on aura $\mathrm {CO=OM=ON.}$

Cela posé, à cause des parallèles, on aura

$\mathrm {CT:CO::CG:CH={\frac {CO.CG}{CT}}={\frac {MO.CG}{CT}}} .$

Mais, par la propriété de l’ellipse, on a

$\mathrm {{\overline {MO}}^{2}={\frac {{\overline {CP}}^{2}}{{\overline {CT}}^{2}}}\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {CO}}^{2}\right)={\frac {{\overline {CP}}^{2}}{{\overline {CT}}^{2}}}\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {MO}}^{2}\right)} \,;$

d’où

$\mathrm {MO={\frac {CP.CT}{\sqrt {{\overline {CP}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}}}}}$

Mais, par une autre propriété de l’ellipse, si l’on représente par $a$ et $b$ ses deux demi-diamètres principaux, on aura

$\mathrm {CP.CG} =ab,\quad$d’où$\quad \mathrm {CP.CT} ={\frac {ab.\mathrm {CT} }{\mathrm {CG} }},$

et

$\mathrm {{\overline {CP}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}} =a^{2}+b^{2}$

d’où

$\mathrm {MO={\frac {CT}{CG}}} .{\frac {ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

En substituant donc cette valeur de $\mathrm {MO}$ dans celle de $\mathrm {CH,}$ elle deviendra simplement

$\mathrm {CH} ={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},$