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Telle est l’expression générale d’un terme d’un rang quelconque dans une somme quelconque.

Si présentement on suppose $n=m-r+1,$ la série (Z) deviendra

$\Sigma (m-r+1,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{1}}a^{r-1}b+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}a^{r-2}b^{2}+\ldots \right.$

$\left.{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}\ldots {\frac {r-i+1}{i}}a^{r-i}b^{i}+\ldots +b^{r}\right\}$

c’est-à-dire,

$\Sigma (m-r+1,r)=M_{r}(a+b)^{r}\,;$

de là on conclura

$(a+b+c)^{m}=\Sigma (1,m)+\Sigma (2,m-1)c+\Sigma (3,m-2)c^{2}+\ldots$

$+\Sigma (i+1,m-i)c^{i}+\ldots +c^{m}\,;$

ce qui démontre généralement les équations posées tome XIII, (pag. 164 et suiv.), sur lesquelles est fondée la méthode que nous avons développée en cet endroit pour l’extraction des racines.