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terons ses termes consécutifs par $\Sigma (2,1),\ \Sigma (2,2),\ \Sigma (2,3)\ldots$$\Sigma (2,r)\ldots$

En opérant sur $(\gamma ),$ comme sur les précédentes, nous formerons une suite $(\gamma )$ telle qu’on la voit ici

$\left.{\begin{array}{r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+3b&+3M_{1}ab&+3M_{2}a^{2}b&+3M_{3}a^{3}b\ldots +3M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\quad 6b^{2}&+6M_{1}ab^{2}&+6M_{2}a^{2}b^{2}\ldots +6M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad 10b^{3}&+10M_{1}ab^{3}\ldots +10M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad 15b^{4}\ldots +15M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&\ldots \ldots \\&&&+{\frac {(r+1)(r+2)}{2}}b^{r}\ldots \end{array}}\right\}(\delta )$

Cette suite sera pareillement la somme première de $(\gamma )$ ou la somme seconde de $(\beta )$ ou la somme troisième de $(\alpha ),$ et nous représenterons ses termes consécutifs par $\Sigma (3,1),\ \Sigma (3,2),\ \Sigma (3,3)\ldots$$\Sigma (3,r)\ldots$

On peut, par le même procédé, former tant d’autres suites $(\varepsilon ),(\zeta ),(\eta ),\ldots$ qu’on voudra, lesquelles seront dites les sommes quatrième, cinquième, sixième, … de la suite $(\alpha )\,;$ et il résulte des lois de leur formation,

1.^o Que, dans la somme première de $(\alpha ),$ les coefficiens sont constans et égaux à l’unité ;

2.^o Que ; dans la somme seconde, les coefficiens sont les nombres de la suite naturelle $1,2,3,\ldots \,;$

3.^o Que, dans la somme troisième, les coefficiens sont les nombres triangulaires $1,3,6,10,\ldots \,;$