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fonction qui satisfait aux restrictions qui limitent la forme de la fonction $\psi .$ L’équation (1) devient

$\int _{0}^{\infty }\left\{\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {Log} .(1+z)}{z}}\operatorname {d} z,$

ou

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {Log} .\left(1+2e^{-x}.\operatorname {Cos} .x+e^{-2x}\right)\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {Log} .(1+z)}{z}}\operatorname {d} z\,;$

or, on trouve

$\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {Log} .(1+z)}{z}}\operatorname {d} z=\int _{0}^{1}\left(1-{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{3}}-{\frac {z^{3}}{4}}+\ldots \right)\operatorname {d} z={\frac {\varpi }{12}}$^[1] ;

donc

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {Log} .\left(1+2e^{-x}.\operatorname {Cos} .x+e^{-2x}\right)\operatorname {d} x={\frac {\varpi ^{2}}{12}}.$

1. Voyez le troisième mémoire de M. Poisson, dans le Journal de l’école polytechnique, XVIII.^e cahier, pag. 341.