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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant depuis $0$ jusqu’à $\infty ,$ on aura

$\int _{0}^{\infty }\left\{\operatorname {F} \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+\operatorname {F} \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x$

$={\frac {\operatorname {F} '(0)}{1}}+{\frac {\operatorname {F} ''(0)}{1.2^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} '''(0)}{1.2.3^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} ''''(0)}{1.2.3.4^{2}}}+\ldots$

Mais on a aussi

$\operatorname {F} \left(e^{-x}\right)=\operatorname {F} '(0).{\frac {e^{-x}}{1}}+\operatorname {F} ''(0).{\frac {e^{-2x}}{1.2}}+\operatorname {F} '''(0).{\frac {e^{-3x}}{1.2.3}}+\ldots$

observant qu’en général

$\int _{0}^{\varpi }e^{-nx}.\operatorname {d} x={\frac {1}{n}},$

multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant depuis $0$ jusqu’à $\infty ,$ on aura aussi

$\int _{0}^{\varpi }\operatorname {F} \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x={\frac {\operatorname {F} '(0)}{1}}+{\frac {\operatorname {F} ''(0)}{1.2^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} '''(0)}{1.2.3^{2}}}+\ldots \,;$

de sorte que

$\int _{0}^{\infty }\left\{\operatorname {F} \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+\operatorname {F} \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }\operatorname {F} \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x.$

Cela posé, soit $\operatorname {F} (x)=r\psi (x)\,;$ il suffira que $\psi (x)$ ne soit pas infinie pour $x=0,$ et soit développable suivant les puissances entières de $x.$ L’équation précédente deviendra