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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {d} z=\left(-1+{\sqrt {-1}}\right)e^{-x+x{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} x,$

et par conséquent

$\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z=\int _{0}^{\infty }\left(-1-{\sqrt {-1}}\right).{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\operatorname {d} x\,;$

ou bien

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z+{\frac {\sqrt {-1}}{2}}\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z\,;$ (Q)

et l’équation (Q) fournira, comme l’équation (P), les valeurs d’une infinité d’intégrales définies, en égalant respectivement, dans les deux membres, les parties réelles et les parties imaginaires. Mais l’équation (Q) a besoin, comme l’équation (P), d’être établie d’une manière plus rigoureuse.

Soit $\operatorname {F} (x)$ une fonction développable en série convergente, procédant suivant les puissances entières de $x$ $P$ et qui soit nulle en même temps que $x,$ on aura

$\operatorname {F} \left(e^{-x+x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(e^{-x-x{\sqrt {-1}}}\right)$

$=2\left\{\operatorname {F} '(0){\frac {e^{-x}.\operatorname {Cos} .x}{1}}+\operatorname {F} ''(0){\frac {e^{-2x}.\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+\operatorname {F} '''(0){\frac {e^{-3x}.\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+\ldots \right\}.$

En observant que, par une formule connue

$\int _{0}^{\varpi }e^{-nx}.\operatorname {Cos} .nx.\operatorname {d} x={\frac {1}{2n}},$