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$\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x=0,\qquad \int _{0}^{\varpi }\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x={\frac {2}{n}},$

multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant depuis $0$ jusqu’à $\varpi ,$ on aura

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {d} x$

$=2\left\{\varphi (0)+{\frac {\varphi ''(0)}{1.2.3}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {IV} }}(0)}{1.2.3.4.5}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {VI} }}(0)}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \right\}$

mais, on a aussi

$\varphi (z)=\varphi (0)+{\frac {\varphi '(0).z}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).z}{1.2}}+\ldots$

d’où

$\int _{-1}^{+1}\varphi (z).\operatorname {d} z=2\left\{\varphi (0)+{\frac {\varphi ''(0)}{1.2.3}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {IV} }}(0)}{1.2.3.4.5}}+\ldots \right\}\,;$

donc

$\int _{0}^{\varpi }\left\{e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {d} x$

$=2{\sqrt {-1}}\int _{-1}^{+1}\varphi (z).\operatorname {d} z\,;\quad$(2)

or, en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2), on tombe précisément sur l’équation (P) qui se trouve ainsi complètement justifiée.

8. Pour déduire de cette équation la valeur d’un grand nombre d’intégrales définies, il reste à donner à la fonction $\varphi$ différentes formes. La seconde manière dont on est parvenu à l’équation (P)