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les formules (M) et (IN) peuvent donner une infinité d’intégrales différentes.

7. Un moyen fréquemment employé dans les intégrations consiste à substituer à la variable une nouvelle variable, dont les limites sont alors les valeurs correspondantes aux valeurs limites de la première variable. Cette transformation ne change rien à la valeur de l’intégrale définie, somme des élémens différentiels. Mais, si l’on vient à remplacer une variable, réelle dans toute l’étendue de l’intégration, par une fonction variable, composée d’une partie réelle et d’une partie imaginaire, il semble que la valeur de l’intégrale définie peut en être altérée, bien que la nouvelle fonction substituée varie dans les mêmes limites que la variable primitive, puisqu’on a remplacé une somme d’élémens réels par une somme d’élémens imaginaires.

Nous nous proposons ici de faire voir que néanmoins une substitution de ce genre, appliquée à une fonction réelle et finie, dans toute l’étendue de l’intégration, loin de conduire à des résultats absurdes, peut servir, au contraire, dans un grand nombre de cas, à découvrir de nouvelles formules générales d’intégration.

Soit $\varphi (z).\operatorname {d} z$ un différentielle que l’on doit intégrer depuis $z=-1$ jusqu’à $z=+1,$ et qui demeure constamment réelle entre ces limites. Soit fait $z=e^{x{\sqrt {-1}}}\,;$ les limites correspondantes de $x$ seront respectivement $x=\varpi$ et $x=0,$ à cause de $e^{x{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x.$ On tire de cette relation $\operatorname {d} z={\sqrt {-1}}.e^{x{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} x,$ ce qui donne

$\int _{-1}^{+1}\varphi (z).\operatorname {d} z=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{x{\sqrt {-1}}}\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} x\,;\qquad$(P)

équation qui ne sera vraie qu’autant qu’après avoir séparé dans le second membre la partie réelle de la partie imaginaire, l’intégrale de la partie imaginaire sera nulle, et celle de la partie réelle égale au premier membre.