12. Considérons actuellement la courbe dont l’équation est
En faisant on a et il en est de même lorsqu’on fait, mais si, par exemple, on fait, on a et comme d’ailleurs, passé y croît indéfiniment avec et devient infinie avec cette abscisse, il s’ensuit qu’une branche continue de la courbe partant de l’axe des à une distance de l’origine, après être descendue vers l’axe des (fig. 8) se relève ensuite, pour s’en écarter indéfiniment. Il est clair d’ailleurs que des valeurs de choisies d’une manière convenable donneront naissance à une branche pointillée, symétrique avec la branche continue, par rapport à l’axe des
Si l’on suppose ensuite négatif, certaines valeurs ne donneront pour que des valeurs imaginaires, tandis que d’autres donneront, pour cette ordonnée, des valeurs réelles alternativement positives et négatives, lesquelles croîtront de à et iront ensuite en décroissant indéfiniment. La branche continue et la branche pointillée se prolongent donc l’une et l’autre en deux branches ponctuées, symétriques comme elles, par rapport à l’axe des et ayant cet axe pour asymptote commune.
Cet exemple et le précédent sembleraient annoncer qu’il est permis d’étendre aux courbes transcendantes un principe qu’on avait cru jusqu’ici n’être applicable qu’aux seules courbes algébriques, savoir, qu’une branche de courbe ne saurait s’arrêter brusquement, mais doit nécessairement se réunir à une autre branche de courbe. Nous en rencontrerons d’autres exemples encore.
À cause de la symétrie que présente la courbe que nous discutons, par rapport à l’axe des nous ne considérerons simplement, dans ce qui va suivre, que ce qui se passe dans la région des positives.
