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${\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}x\operatorname {d} x$

$=\varpi \left\{{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{-qb}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{-2qb}+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{-3qb}+\ldots \right\}$

ou encore

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{b}}\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qb}\right),$ (M)

${\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}x\operatorname {d} x$

$=\varpi \left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qb}\right)-\operatorname {F} (\alpha )\right\}.$ (N)

On peut faire, dans les formules (M) et (N), les mêmes suppositions que dans les formules (A) et (B), puisque, dans ces quatre formules, la fonction $\operatorname {F}$ est assujettie aux mêmes restrictions.

Soient, par exemple, $\operatorname {F} (a)=\operatorname {Sin} .(a\alpha ),\ \alpha =0,\ p=1.$ Le premier membre de l’équation (M) deviendra

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ae^{qx{\sqrt {-1}}}+\operatorname {Sin} .ae^{-qx{\sqrt {-1}}}}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x.$

En faisant disparaître les imaginaires et formant le second membre, on trouvera finalement

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .qx){\frac {e^{a\operatorname {Sin} .qx}+e^{-a\operatorname {Sin} .qx}}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{b}}\operatorname {Sin} .ae^{-qb}$

Il est inutile de multiplier les exemples pour faire comprendre que