Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/188

6. Les formules (A) et (B) ont été construites pour les limites d’intégration $0$ et $\varpi \,;$ mais la considération de la série de Taylor en fournit encore deux autres, qui ont lieu entre les limites $0$ et $\infty ,$ et qui donnent, sous forme finie, un nombre illimité d’intégrales.

Pour les obtenir, rappelons d’abord ces deux formules connues

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .rqx}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{2b}}e^{-rqb},\quad \int _{0}^{\infty }{\frac {x\operatorname {Sin} .rqx}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{2b}}e^{-rqb}.\quad$^[1]

Remarquons en outre que, par la série de Taylor, on a

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{2}}=\\&\qquad \qquad \qquad \operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}.\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Cos} .qx+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Cos} .2qx+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}=\\&\qquad \qquad \qquad {\frac {p}{1}}.\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Sin} .qx+{\frac {p^{2}}{1.2}}.\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Sin} .2qx+\ldots \end{aligned}}$

en multipliant les deux membres de l’une et de l’autre équations par $\operatorname {d} x,$ intégrant entre $0$ et $\infty ,$ et ayant égard aux deux formules ci-dessus, il viendra

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x$

$={\frac {\varpi }{b}}\left\{\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{-qb}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{-2qb}+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{-3qb}+\ldots \right\}$

1. Voyez un mémoire de M. Laplace, dans le volume des Mémoires de l’académie royale des sciences de Paris, pour 1782, ou la Théorie analitique des probabilités du même géomètre, chap. III, n.^o 33, ou encore le Nouveau bulletin des sciences, n.^o 43, avril 1811, ou enfin le Traité des différences et des séries de M. Lacroix, 2^e édition, page 492, n.^o 1211. Consultez aussi un beau mémoire de M. Bidone, dans les Mémoires de l’académie royale des sciences de Turin, pour 1812.