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5. Les formules (A) et (B) servent à connaître les valeurs d’un grand nombre d’intégrales définies, par celles de la série finie qui en forme le second membre. La seule condition à laquelle doive être assujettie la fonction arbitraire $\operatorname {F}$ qui entre dans ces formules et les deux constantes $a$ et $p,$ c’est que la série de Taylor soit applicable et que les développemens

${\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Sin} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Sin} .2x+\ldots \\\\\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Cos} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Cos} .2x+\ldots \end{aligned}}$

soient convergens.

Ainsi, par exemple, on pourra supposer,

$\operatorname {F} (\alpha )=\operatorname {Cos} .a\alpha ,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=\operatorname {Sin} .a\alpha ,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=e^{m\alpha },$

les constantes $\alpha ,a,m,$ étant quelconques. Mais si l’on fait

$\operatorname {F} (\alpha )=\alpha ^{m},$

en supposant ensuite $\alpha =0,$ il faudra que l’exposant $m$ soit un nombre entier positif, autrement les termes de la série de Taylor deviendraient infinis. Si, au contraire, on suppose $\alpha =1,$ le nombre $m$ pourra recevoir toutes les valeurs positives possibles. On poura faire aussi

$\operatorname {F} (\alpha )={\frac {\alpha ^{m}}{1+b\alpha ^{m}}},$

$m$ et $n$ étant des nombres entiers positifs, et $b$ un nombre moindre que l’unité, pourvu que l’on fasse ensuite $\alpha =0.$

Soit, par exemple, $\operatorname {F} (\alpha )=e^{m^{\alpha }}$, et qu’on doive ensuite poser $\alpha =0,$ ce qui exigera que le nombre $m$ soit entier ; posons de plus $p=1,$ le premier membre de l’équation (A) deviendra