Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/183

(A)$\qquad {\frac {1}{2\varpi }}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Sin} .rx}{2\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$={\frac {p^{r-1}}{1.2\ldots (r-1)}}.\operatorname {F} ^{(r-1)}(\alpha )+{\frac {p^{r-3}}{1.2\ldots (r-3)}}.\operatorname {F} ^{(r-3)}(\alpha )+{\frac {p^{r-5}}{1.2\ldots (r-5)}}.\operatorname {F} ^{(r-5)}(\alpha )+\ldots$

(B) ${\frac {1}{2\varpi {\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Cos} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$={\frac {p^{r+1}}{1.2\ldots (r+1)}}.\operatorname {F} ^{(r+1)}(\alpha )+{\frac {p^{r+3}}{1.2\ldots (r+3)}}.\operatorname {F} ^{(r+3)}(\alpha )+{\frac {p^{r+5}}{1.2\ldots (r+5)}}.\operatorname {F} ^{(r+5)}(\alpha )+\ldots$

Si donc $r$ est un nombre pair, la formule (A) donnera la somme des termes de degrés impairs de la série de Taylor, depuis le terme affecté de $p$ jusqu’au terme affecté de $p^{r-1}\,;$ et la formule (B) donnera la somme de tous les autres termes de degrés impairs, à l’infini.

Si, au contraire, $r$ est un nombre impair, la formule (A) donnera la somme des termes de degrés pairs de la série de Taylor, depuis le terme $\operatorname {F} (\alpha )$ jusqu’au terme affecté de $p^{r-1}\,;$ et la formule (B) donnera la somme de tous les autres termes de degrés pairs, à l’infini.

4. Cette même série de Taylor donne

$\operatorname {F} (\alpha +p)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha )+\ldots$

puis, en changeant le signe de $p,$

$\operatorname {F} (\alpha -p)=\operatorname {F} (\alpha )-{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )-{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha )+\ldots \,;$