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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .3x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots \int {\frac {\operatorname {Cos} .(r-1)x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

prises entre les mêmes limites, seront toutes égales à $\varpi .$

3.^o Enfin, qu’il en ira à l’inverse, si le nombre entier positif $r$ est impair ; c’est-à-dire qu’alors ce seront les intégrales de la dernière ligne qui seront nulles, tandis que celles de l’avant-dernière seront toutes égales à $\varpi .$

Toutes ces remarques vont, dans un instant, recevoir leur application.

3. Soient présentement $\alpha$ et $p$ deux constantes indéterminées, et soit $\operatorname {F}$ la caractéristique d’une fonction quelconque ; le théorème de Taylor donnera

$\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{x{\sqrt {-1}}}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{2x{\sqrt {-1}}}$

$+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{3x{\sqrt {-1}}}+\ldots$

puis, en changeant le signe de $x,$

$\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{-x{\sqrt {-1}}}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{-2x{\sqrt {-1}}}$

$+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{-3x{\sqrt {-1}}}+\ldots$

Prenant d’abord la demi-somme de ces équations, puis leur demi-différence divisée par ${\sqrt {-1}},$ en se rappelant qu’en général

${\frac {e^{k{\sqrt {-1}}}+e^{-k{\sqrt {-1}}}}{2}}=\operatorname {Cos} .k,\qquad {\frac {e^{k{\sqrt {-1}}}-e^{-k{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {Sin} .k,$

on aura ces deux nouvelles équations

${\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2}}$

$=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Cos} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Cos} .2x+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).\operatorname {Cos} .3x+\ldots$