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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si $p$ et $q$ sont tous deux pairs ou tous deux impairs, $p+q$ et $p-q$ seront deux nombres positifs pairs, et ce sera la première des deux formules qu’il faudra employer. On aura donc

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p+q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=0,\quad \int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p-q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=0.\qquad$(1)

Si, au contraire, des deux nombres $p$ et $q,$ l’un est pair et l’autre impair ; $p+q$ et $p-q$ étant alors deux nombres impairs, ce sera alors à la seconde formule qu’il faudra recourir, et l’on aura

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p+q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=\varpi ,\quad \int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p-q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=\varpi .\qquad$(2)

Si l’on prend tour-à-tour la différence des équations (1) et celle des équations (2), on trouvera également, en divisant par deux,

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p+q)x-\operatorname {Sin} .(p-q)x}{2\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$ ou $\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Cos} .px.\operatorname {Sin} .qx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=0\,;\quad$(3)

formule qui a lieu conséquemment de quelque nature que soient les nombres entiers positifs $p$ et $q,$ pourvu qu’on n’ait pas $p<q.$

Mais, si l’on avait $p<q,\ p-q$ deviendrait négatif, ce qui ne changerait rien aux formules (1), de sorte que, pourvu que $p$ et $q$ fussent tous deux pairs ou tous deux impairs, la formule (3) aurait encore lieu.

Mais s’ils étaient l’un pair et l’autre impair, c’est-à-dire, si $p-q$ était un nombre négatif impair, on aurait

$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p+q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=\varpi ,\quad \int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p-q)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=-\varpi \,;$

d’où, en prenant la demi-différence,