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$g^{2}+h^{2}=e^{2x{\sqrt {-1}}}+e^{-2x{\sqrt {-1}}}=2\operatorname {Cos} .2x$

;

$g^{n-1}+h^{n-1}=e^{(n-1)x{\sqrt {-1}}}+e^{-(n-1)x{\sqrt {-1}}}=2\operatorname {Cos} .(n-1)x{\sqrt {-1}}\,;$

substituant donc, et renversant le second membre, on trouvera

Pour $n$ pair, ${\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}=2\left\{\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .3x+\operatorname {Cos} .5x+\ldots \operatorname {Cos} .(n-1)x\right\},$

Pour $n$ impair, ${\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}=1+2\left\{\operatorname {Cos} .2x+\operatorname {Cos} .4x+\operatorname {Cos} .6x+\ldots \operatorname {Cos} .(n-1)x\right\},$

Si présentement on multiplie l’une et l’autre de ces deux équations par $\operatorname {d} x$ et qu’indiquant ensuite l’intégration de leurs premiers membres, on exécute celles des seconds, on trouvera

Pour $n$ pair, $\int {\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}=2\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Sin} .5x}{5}}+\ldots {\frac {\operatorname {Sin} .(n-1)x}{n-1}}\right\},$

Pour $n$ impair, $\int {\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}=x+2\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .4x}{4}}+{\frac {\operatorname {Sin} .6x}{6}}+\ldots {\frac {\operatorname {Sin} .(n-1)x}{n-1}}\right\}.$

En prenant ces intégrales depuis $x=0$ jusqu’à $x/\varpi ,$ on aura évidemment

Pour $n$ pair, $\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=0,$

Pour $n$ impair, $\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=\varpi .$

Changeons tour-à-tour $n$ en $p+q$ et $p-q,\ p$ et $q$ étant tous deux des nombres entiers positifs, et $p$ n’étant pas moindre que $q.$