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${\frac {\operatorname {Sin} .nx}{\operatorname {Sin} .x}}={\frac {\left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)^{n}-\left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)^{n}}{e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}}\,;$

Mais on sait que

${\frac {g^{n}-h^{n}}{g-h}}=g^{n-1}+g^{n-2}h+g^{n-3}h^{2}+\ldots g^{2}h^{n-3}+gh^{n-2}+h^{n-1},$

ou encore

${\frac {g^{n}-h^{n}}{g-h}}=\left(g^{n-1}+h^{n-1}\right)+gh\left(g^{n-3}+h^{n-3}\right)+g^{2}h^{2}\left(g^{n-5}+h^{n-5}\right)+\ldots$

Si $n$ est nombre pair, ce développement, mis sous cette dernière forme ; se terminera par le terme

$g^{\frac {n-2}{2}}h^{\frac {n-2}{2}}(g+h)\,;$

tandis que si $n$ est impair ce dernier terme sera simplement

$g^{\frac {n-1}{2}}h^{\frac {n-1}{2}}.$

Or, si l’on fait

$g=e^{x{\sqrt {-1}}},\qquad h=e^{-x{\sqrt {-1}}},$

on aura

$gh,\quad$et en général$\quad g^{k}h^{k}=1\,;$

on aura de plus

$g+h=e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}=2\operatorname {Cos} .x$