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En éliminant $F$ de la première de ces équations et $S$ de la seconde, au moyen de l’équation (1), il viendra

$\left.{\begin{aligned}&3S-A=6+b+2c+3d+4e+\ldots ,\\&3F-A=6+\beta +2\gamma +3\delta +4\varepsilon +\ldots .\end{aligned}}\right\}\quad (9)$

Les seconds membres des équations (8) peuvent fort bien être nuls ; mais ils sont, dans tous les cas, plus grands que $-1\,;$ et, quant aux seconds membres des équations (9), ils peuvent fort bien être égaux à $6\,;$ mais ils seront, dans tous les cas, plus grands que $5.$ On a donc

${\begin{array}{ll}2A-3F>-1,&\qquad 3S-A>5,\\2A-3S>-1,&\qquad 3F-A>5\,;\end{array}}$

d’où

$3F$ ou $3S\left\{{\begin{aligned}&>A+5,\\&<2A+1\,;\end{aligned}}\right.$

Les signes $>$ et $<$ excluant l’égalité ; c’est-à-dire,

XV. Dans tout polyèdre, le triple du nombre, soit des faces, soit des sommets, est toujours plus grand que le nombre des arêtes augmenté de cinq unités, mais plus petit que le double de ce même nombre d’arêtes augmenté d’une unité.

QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorème d’analise.

Si, dans une équation de degré quelconque, les coefficiens $p,q,r,s,$ de quatre termes consécutifs quelconques, pris avec leurs signes, sont tels qu’on ait

$\left(q^{2}-pr\right)\left(r^{2}-qs\right)<0,$

cette équation aura nécessairement deux racines imaginaires au moins ; et si une pareille relation a lieu pour plusieurs séries de quatre termes consécutifs, l’équation aura autant de couples de racines imaginaires au moins qu’elle offrira de pareilles séries.