le voit, ne saurait offrir de difficulté, et nous observerons seulement qu’il en résulte qu’il ne saurait exister que cinq sortes de polyèdres dans lesquels toutes les faces se trouvent avoir le même nombre de côtés et tous les sommets le même nombre d’arêtes[1] ; ce sont :
Le tétraèdre ou tétragone, qui a quatre faces trigones, quatre sommets trièdres et six arêtes.
|
L’hexaèdre octogone, qui a six faces tétragones, huit sommets trièdres et douze arêtes. |
L’octaèdre hexagone, qui a six sommets tétraèdres, huit faces trigones et douze arêtes. |
|
Le dodécaèdre icosagone, qui a douze faces pentagones, cinq sommets trièdres et trente arêtes. |
L’icosaèdre dodécagone, qui a douze sommets pentaèdres, vingt faces trigones et trente arêtes. |
De là on conclura que, s’il y a des polyèdres réguliers, ils ne sauraient être qu’au nombre de cinq[2], à moins cependant qu’on ne veuille y comprendre la sphère considérée
Comme terminée par une infinité de tétragones infiniment petits, et par une infinité de sommets tétraèdres,
|
Comme terminée par une infinité d’hexagones infiniment petits, et par une infinité de sommets trièdres. |
Comme terminée par une infinité de trigones infiniment petits, et par une infinité de sommets hexaèdres. |
Ce qui en porterait alors le nombre à huit.
Terminons par la recherche des limites entre lesquelles doit se trouver compris soit le nombre des faces, soit le nombre des sommets d’un polyèdre dont le nombre des arêtes est donné. Le rapprochement des équations (2) et (3) donne
