Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/170

$a+\alpha =8+(c+2d+3e+\ldots )+(\gamma +2\delta +3\varepsilon +\ldots )\,;\qquad$(6)

ce qui conduit aux conséquences que voici :

X. Un polyèdre ne saurait être privé à la fois de faces trigones et de sommets trièdres. Il faut même que le nombre tant des uns que des autres ne soit pas moindre que huit.

XI. Tout polyèdre qui n’a point de faces trigones a au moins huit sommets trièdres.

$\ \$

XI. Tout polyèdre qui n’a point de sommets trièdres a au moins huit faces trigones.

XII. Si un polyèdre à faces tétragones n’a que des sommets trièdres et des sommets tétraèdres ; il en aura nécessairement huit de la première de ces deux sortes.

$\ \$

XII. Si un polyèdre à sommets tétraèdres n’a que des faces trigones et des faces tétragones ; il en aura nécessairement huit de la première de ces deux sortes.

Si, entre les deux mêmes équations (4), on élimine tour à tour $c$ et $\gamma ,$ il viendra

$\left.{\begin{aligned}&4a+2b+\alpha =20+(d+2e+3f+4g+\ldots )\\&\qquad \qquad \qquad +(2\beta +5\gamma +8\delta +11\varepsilon +\ldots ),\\&4\alpha +2\beta +a=20+(\delta +2\varepsilon +3\xi +4\eta +\ldots )\\&\qquad \qquad \qquad +(2b+5c+8d+11e+\ldots )\,;\end{aligned}}\right\}\quad (7)$

ce qui conduit aux conséquences que voici :

XIII. Si un polyèdre n’a ni faces trigones ni faces tétragones, il aura au moins vingt sommets trièdres.$\qquad \qquad$

$\ \$

XIII. Si un polyèdre n’a ni sommets trièdres ni sommets té traèdres, il aura au moins vingt faces trigones.

XIV. Si un polyèdre à faces pentagones n’a que des sommets trièdres, ces sommets seront nécessairement au nombre de vingt.

$\ \$

XIV. Si un polyèdre à sommets pentaèdres n’a que des faces trigones, ces faces seront nécessairement au nombre de vingt.

Nous ne pousserons pas plus loin cette analise qui, comme on le