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nombre des sommets surpasse constamment de deux unités le nombre des arêtes^[1].

En représentant donc par $F$ le nombre des faces, par $S$ le nombre des sommets et par $A$ le nombre des arêtes d’un polyèdre quelconque, on aura

$F+S=A+2.\qquad$(1)

Soient ensuite représentés respectivement par $a,b,c,d,\ldots ,$ le nombre des faces trigones, tétragones, pentagones, hexagones, …, et par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ le nombre des sommets trièdres, tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, … ; on aura d’abord évidemment

$\left.{\begin{aligned}&F=a+b+c+d+e+f+\ldots ,\\&S=\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +\ldots \,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

En outre, comme chaque arête appartient à la fois à deux faces et se termine à deux sommets, il s’ensuit qu’en comptant, soit le nombre des côtés de toutes les faces, soit le nombre des arêtes de tous les sommets, on compte deux fois le nombre total des arêtes du polyèdre ; de sorte qu’on doit encore avoir

$\left.{\begin{aligned}&2A=3a+4b+5c+6d+7e+8f+\ldots ,\\&2A=3\alpha +4\beta +5\gamma +6\delta +7\varepsilon +8\zeta +\ldots \end{aligned}}\right\}\quad (3)$

Substituant les valeurs (2) de $F$ et $S,$ et tour à tour les deux valeurs (3) de $A$ dans l’équation (1), on obtiendra les deux suivantes ;

1. On peut consulter, sur l’historique et sur la démonstration de ce théorème, le III.^e volume du présent recueil (pag. 169-189).