La vérité de cette assertion s’aperçoit sur-le-champ, en imaginant, dans l’espace, une surface quelconque du second ordre, disposée d’une manière quelconque par rapport à un polyèdre donné, quel qu’il soit, et en supposant qu’on ait déterminé les polaires conjuguées ou réciproques de ses arêtes, par rapport à cette surface. On voit, en effet, que les polaires des côtés d’une même face concourront en un même point, pôle de cette face, et que les polaires des arêtes d’un même sommet seront, dans un même plan, plan polaire de ce sommet ; d’où l’on voit que ces droites seront les arêtes d’un nouveau polyèdre, ayant autant de sommets que l’autre a de faces et autant de faces qu’il a de sommets ; et dans lequel, en outre, chaque sommet aura autant de faces que la face correspondante du premier avait de côtés, et chaque face autant de côtés que le sommet correspondant du premier avait d’arêtes. Il est manifeste, de plus, que le premier des deux polyèdres dépendra du second de la même manière que le second dépendra du premier ; de sorte qu’on pourra les considérer comme conjugués ou réciproques l’un de l’autre. Suivant donc que l’un des deux sera possible ou impossible, l’autre le sera également.
Cette seule considération suffit pour montrer que des théorèmes de M. Legendre il en résulte nécessairement quelques autres et pour indiquer en même temps la manière de les démontrer ; mais, en y réfléchissant mieux, nous avons reconnu qu’on pouvait, par un procédé tout-à-fait simple et uniforme, parvenir à un nombre illimité de tels théorèmes. Nous nous bornerons ici à établir les plus remarquables d’entre eux, ce qui suffira pour mettre sur la voie de la recherche des autres ceux d’entre nos lecteurs que ce sujet pourra intéresser.
Rappelons d’abord le théorème d’Euler qui est le fondement de toute cette théorie :
I. Dans tout polyèdre, la somme du nombre des faces et du
