Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/164

3. Ce qui précède suppose qu’une au moins des valeurs de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x$ est réelle ; mais si $n$ est pair et $\operatorname {Cos} .x$ négatif, il n’y en a pour lors que d’imaginaires. Dans ce cas, nous désignerons par $R{\sqrt {-1}}$ la valeur positive de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x$ purement imaginaire, et nous aurons

$R{\sqrt {-1}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right)=\left(\operatorname {Cos} .k+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\right)\left(P+{\sqrt {-1}}Q\right).$

En développant et égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l’équation résultante, nous trouverons

${\begin{aligned}R\operatorname {Cos} .k'=&P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k,\\-R\operatorname {Sin} .k'=&P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k,\end{aligned}}$

d’où

$R^{2}=P^{2}+Q^{2},\qquad R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}},$

et, par suite,

$\operatorname {Cos} .k={\frac {P\operatorname {Cos} .k'-Q\operatorname {Sin} .k'}{R}},\qquad \operatorname {Sin} .k=-{\frac {P\operatorname {Sin} .k'+Q\operatorname {Cos} .k'}{R}},$

ce qui donne

$2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right){\sqrt {-1}}$

$={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right){\sqrt {-1}}.$

4. Ces formules se vérifient aisément pour divers cas particuliers, comme, par exemple, pour $x=2\varpi$ et ${\frac {m}{n}}={\frac {1}{2}}\,;$ mais ces vérifications sont complètement inutiles, puisque les formules ne sauraient manquer d’être exactes ; et l’on peut, à l’inverse, s’en servir, dans chaque cas particulier, pour déterminer les valeurs