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Prenant la somme des carrés des deux membres de ces équations, on aura d’abord la relation

$R^{2}=P^{2}+Q^{2},\quad$d’où$\quad R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}},$

au moyen de laquelle on pourra toujours calculer la valeur réelle unique ou la valeur réelle positive de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x,$ après avoir déterminé $P$ et $Q.$ Les équations (1, 2) donneront ensuite

$\operatorname {Cos} .k={\frac {P\operatorname {Cos} .k'+Q\operatorname {Sin} .k'}{R}},\qquad \operatorname {Sin} .k={\frac {P\operatorname {Sin} .k'-Q\operatorname {Cos} .k'}{R}}.$

Au moyen de ces valeurs, celle de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x$ pourra être écrite ainsi

$2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right)$

$=+{\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)$

Ainsi, $P$ et $Q$ étant calculés, on aura la valeur d’une racine quelconque déterminée de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x$ en évaluant le second membre au moyen de $p'$ qui sera donné, puisqu’on suppose que la racine dont il s’agit est déterminée. Si, par exemple, on demandait la racine entièrement réelle, il faudrait supposer $\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}=0,$ d’où $p'=0$ ou ${\frac {n}{2}}$ ou $n\,;$ ce qui ferait retomber sur la valeur

$R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}.$

Cette remarque, au surplus, n’intéresse aucunement le sujet qui nous occupe, attendu que $P$ et $Q$ étant chacun, par la forme même de leur développement, moindres que $2^{\frac {m}{n}},$ ne sauraient être des séries divergentes.

(Note de M. Stein.)