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soit en outre désignée par $R$ la racine réelle positive de $2^{\frac {m}{n}}.\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x\,;$ l’équation ci-dessus pourra être écrite ainsi

$R\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)\left(P+{\sqrt {-1}}Q\right)$

$p'$ représentant un nombre entier quelconque, généralement différent de $p.$ Effectuant de part et d’autre les opérations indiquées et posant, pour abréger,

${\frac {2p\varpi }{n}}=k,\qquad {\frac {2p'\varpi }{n}}=k',$

il viendra

$R\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k+{\sqrt {-1}}\left(P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k\right)\,;$

d’où, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires^[1],

$R\operatorname {Cos} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k,\qquad$(1)

$R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k,\qquad$(2)

1. Nous placerons ici une remarque qui nous paraît importante : c’est qu’ayant une équation de la forme $a=b+c{\sqrt {-1}},$ on ne doit pas en conclure trop légèrement $a=b,\ c=0,$ lorsque ces quantités sont des séries. On sait en effet qu’une valeur imaginaire peut être développée en une série de termes réels, comme par exemple
   $\left(-x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left[1-\left(1+x^{2}\right)\right]^{\frac {1}{2}}$
   $=1-{\frac {1+x^{2}}{2}}-{\frac {\left(1+x^{2}\right)^{2}}{2.4}}-{\frac {3\left(1+x^{2}\right)^{3}}{2.4.6}}-{\frac {3.5\left(1+x^{2}\right)^{4}}{2.4.6.8}}-\ldots$

   mais qu’alors ces séries ne sauraient être constamment convergentes. Lors donc que quelqu’une des trois quantités $a,b,c$ sera une série divergente, on ne pourra être certain de la conclusion $a=b,\ c=0.$