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dire évanouies d’elles-mêmes, ou plutôt ne se seraient point présentées, si l’on avait raisonné avec la rigueur convenable.

En effet, suivant le procédé indiqué par M. Lacroix (Trait. de cal. diff. et intég., tom. III, pag. 609), posons

$\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}\right)^{\frac {m}{n}}\,;$

mais ayons soin, en développant le second membre suivant la formule du binôme, d’employer l’expression complète, telle que nous l’avons trouvée §. I. Après être repassé des exponentielles aux fonctions circulaires, nous trouverons

$2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)\times$

$\left\{{\begin{array}{c}\operatorname {Cos} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \\\\+{\sqrt {-1}}\left\{\operatorname {Sin} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+\ldots \right\}\end{array}}\right.$

Cette expression est nécessairement complète ; c’est-à-dire qu’elle donne toutes les $n$ valeurs différentes de la fonction $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x.$ Il est très-facile de la vérifier pour des cas particuliers, ainsi que l’a fait M. Poisson pour la formule complète qu’il a donnée ; mais cela n’est point nécessaire, puisqu’il ne saurait y avoir de doute sur son exactitude.

2. Rien de plus facile maintenant que de trouver la valeur de $p$ qu’il faudra prendre pour obtenir une racine déterminée de l’expression $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x.$ En effet, posons, pour abréger,

${\begin{aligned}&P=\operatorname {Cos} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \\\\&Q=\operatorname {Sin} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \end{aligned}}$