Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/159

D’un autre côté, on sait que la fonction $(a+b)^{\frac {m}{n}}$ ne saurait admettre plus de $n$ valeurs distinctes, d’où on doit conclure que toute équation de la forme

$(a+b)^{\frac {m}{n}}=\operatorname {f} (a,b,m,n),$

où la fonction $\operatorname {f} (a,b,m,n)$ admet $n$ valeurs différentes et se trouve telle

$\left\{\operatorname {f} (a,b,m,n)\right\}^{n}=(a+b)^{m},$

donne toutes les valeurs possibles ou, un d’autres termes, la valeur complète de $(a+b)^{\frac {m}{n}}.$

Cela posé, désignons par $D$ le développement ci-dessus ; en observant que

${\sqrt[{n}]{1}}=\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}},$

$p$ étant un nombre entier quelconque, on pourra écrire

$(a+b)^{\frac {m}{n}}=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)D\,;$

équation qui sera vraie quel que soit le nombre entier positif $p.$ Et comme alors son second membre, comme le premier, admettra $n$ valeurs différentes, ce second membre sera le développement complet de $(a+b)^{\frac {m}{n}}$^[1].

ne pourrait-on pas dire que le développement est complété par le facteur $a^{\frac {m}{n}},$ susceptible, comme $(a+b)^{\frac {m}{n}},$ de $n$ valeurs différentes ?

J. D. G.
1. En mettant $D,$ comme nous l’avons fait tout à l’heure, sous la forme