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ANALISE TRANSCENDANTE.

Sur quelques cas de développement des fonctions,
et en particulier sur le développement des puissances
fractionnaires des sinus et cosinus ;

Par M. Stein, professeur de mathématiques au gymnase de Trèves,
ancien élève de l’école polytechnique.

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§. I.

Sur le développement des puissances fractionnaires d’un binôme.

D’après les principes connus, on a

$(a+b)^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {m}{n}}+{\frac {m}{n}}a^{{\frac {m}{n}}-1}.b+{\frac {m}{n}}.{\frac {{\frac {m}{n}}-1}{2}}.a^{{\frac {m}{n}}-1}.b^{2}+\ldots$

Mais on sait que $(a+b)^{\frac {m}{n}}$ doit avoir $n$ valeurs distinctes ; donc le développement ci-dessus, ne donnant qu’une seule de ces valeurs, n’est pas complet, c’est-à-dire, qu’il n’exprime pas la valeur complète de la fonction $(a+b)^{\frac {m}{n}}$^[1].

1. En écrivant
   $(a+b)^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {m}{n}}.{\frac {b}{a}}+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}.{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}.{\frac {m-2n}{3n}}{\frac {b^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right)\,;$